Имели ли они на это право, ведь размер премии указывался при поступлении на работу.

В соответствии с Трудовым кодексом РФ:

А) премия – это стимулирующая выплата, т.е. выплата, отличающаяся от понятия заработной платы;

Б) система премирования устанавливается коллективным договором и (или) иными ЛНА;

В) в качестве ПООЩРЕНИЯ работодатель ВПРАВЕ (т.е. сам решает) выдать премию тому или иному работнику или нет, как следствие - и ее размер.