Получение справки формы 86 в институте - почему она стала платной и где это прописано в законодательстве?

Однозначного ответа на данный вопрос нет. Чаще всего это контролируется региональным законодательством. Так, например, Постановлением Правительства Санкт-Петербурга от 12.12.2011 № 1667 «Об установлении порядка и условий предоставления бесплатной медицинской консультации несовершеннолетним при определении их профессиональной пригодности» утверждены «Порядок и Условия предоставления бесплатной медицинской консультации несовершеннолетним при определении их профессиональной пригодности» с занесением информации в справку по форме 086/у.

Также существует указание Комитета по Здравоохранению от 1 июля 1997 г. N 7-у «О порядке выдачи медицинской справки Ф № 086/у лицам молодого возраста», в соответствии с которым руководителям районных органов управления здравоохранением, руководителям амбулаторных медицинских учреждений предписано обеспечить выдачу медицинских справок Ф 086/у лицам в возрасте 18-19 лет включительно бесплатно для граждан по месту базового медицинского учреждения в соответствии с полисом обязательного медицинского страхования.

Еще стоит обратить внимание на Приложение №19

к приказу Министерства здравоохранения

Российской Федерации от 15 декабря 2014 г. N 834н и Приложение N 20

к приказу Министерства здравоохранения

Российской Федерации от 15 декабря 2014 г. N 834н, которые устанавливают форму и порядок заполнения справки.

Поэтому все зависит о места Вашего проживания.