Можно ли работодателю обратиться в суд с требованием о заключении трудового договора?

Так-то оно так, но не оговорены существенные условия этого договора.

Согласно ст. 67 ТК РФ, трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе.

То есть обязанность возлагается на вас как работодателя - соответственно Вы обязанность на данный момент не выполнили, что может быть червато всякими негативными последствиями. Потом либо работник может условия договора как угодно трактовать, либо контролирующие органы за неисполнение обязанности Вас привлекать к ответственности. Поэтому лучше, конечно, обратиться с иском к понуждению к заключению договора.