Возможно ли оформить заявление на отпуск в связи с переездом, и как это будет отражено в трудовой книжке?

Если у вас там нормальный юрист у работодателя, может выйти и так:

Конституционный Суд РФ отмечает, что установленное ч. 2 ст. 127 ТК РФ правило о предоставлении работнику неиспользованных отпусков с последующим увольнением исключительно по соглашению сторон трудового договора исходит из невозможности изменения графика отпусков по решению лишь одной из его сторон, основано на принципе свободы трудового договора, направлено на обеспечение баланса интересов его сторон и не может рассматриваться как нарушающее конституционные права работника (определение Конституционного Суда РФ от 17.11.2009 N 1385-О-О "Об отказе в принятии к рассмотрению жалобы гражданина Славного Вячеслава Алексеевича на нарушение его конституционных прав частями первой и второй статьи 127 Трудового кодекса Российской Федерации и частью шестой статьи 46 Положения о службе в органах внутренних дел Российской Федерации").

Таким образом, предоставление отпуска с последующим увольнением является не обязанностью, а правом каждой из сторон: как работника нельзя принудить пойти в отпуск с последующим увольнением, так и работодатель не обязан предоставлять работнику такой отпуск.

Если он знает эту фишку, тогда через больничный. Будет инициативе работника/собств.желание в трудовой, в обоих случаях.