Отказ работодателя подписать заявление на увольнение, написанное на фирменном бланке с неверным индексом - юридически допустимо?

Нет, неправомерно. Это Ваша воля. Зарегистрируйте заявление официально. Индекс здесь не причем. Ст.80 Трудового кодекса. Удачи Вам.

Фирменный бланк предприятия используется для других целей. Напишите заявление на обычном листе бумаги и передайте работодателю не менее чем за две недели до желаемой даты увольнения, указанной в заявлении как последний рабочий день (без всяких предлогов "с" пред датой). Ст. 80 ТК РФ. Пишите в двух экземплярах на втором поставьте у секретаря директора, или в канцелярии, или в отделе кадров отметку о приёме заявления (дата и подпись работника) . Дальнейшие действия или бездействия работодателя вас волновать не должны. В указанный вами день увольнения работодатель обязан издать приказ, выдать полный расчёт и трудовую книжку. Ст. 84.1 ТК РФ.

Если не получаете, то ваши действия однозначны. По окончании срока уведомления вы имеете право прекратить работу. И далее можете обращаться в суд в порядке Ст. 392 ТК РФ. Если на следующий день вы выходите на работу и продолжаете её в ожидании, когда работодатель соизволит оформить документы и выплату, а работодатель не оформил увольнение, то вам придётся все начинать сначала, поскольку в данном случае считается, что ни одна из сторон не потребовала расторжения договора и трудовые отношения продолжаются.