Могу ли я написать заявление на увольнение если завели служебную проверку? Уволят ли меня по заявлению?

Да, можете.

В соответствии со ст. 80 Трудового кодекса Российской Федерации работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

Вышеуказанное право работника прямо предусмотрено трудовым законодательством и не может быть ограничено работодателем.

Обращаю Ваше внимание на то обстоятельство, что такое понятие как "служебная проверка" в трудовом законодательстве отсутствует. Служебная проверка может проводится только в случае, если Вы работаете государственных/судебных органах.

В Вашем случае, вероятнее всего, работодателем осуществляется дисциплинарное производство с применением последующего дисциплинарного взыскания, при наличии соответствующих оснований.

Порядок применения дисциплинарных взысканий регламентируется ст. 193 Трудового кодекса Российской Федерации.

Для более детального изучения поставленного Вами вопроса и дачи подробной правовой консультации необходимо ознакомиться с документами и с фактическими обстоятельствами возникшей ситуации.