Должна ли я выполнять обязанности, не предусмотренные трудовым договором, и подписывать договор полной материальной ответственности?

Здравствуйте, Анна. Согласно ст. 60 ТК РФ запрещается требовать от работника выполнения работы, не обусловленной трудовым договором.

Согласно ст. 72.1 ТК РФ

Перевод на другую работу - постоянное или временное изменение трудовой функции работника и (или) структурного подразделения, в котором работает работник (если структурное подразделение было указано в трудовом договоре), при продолжении работы у того же работодателя, а также перевод на работу в другую местность вместе с работодателем. Перевод на другую работу допускается только с письменного согласия работника, за исключением случаев, предусмотренных частями второй и третьей статьи 72.2 настоящего Кодекса (в связи с производственной необходимостью).

По письменной просьбе работника или с его письменного согласия может быть осуществлен перевод работника на постоянную работу к другому работодателю. При этом трудовой договор по прежнему месту работы прекращается (пункт 5 части первой статьи 77 настоящего Кодекса).

Не требует согласия работника перемещение его у того же работодателя на другое рабочее место, в другое структурное подразделение, расположенное в той же местности, поручение ему работы на другом механизме или агрегате, если это не влечет за собой изменения определенных сторонами условий трудового договора.

Запрещается переводить и перемещать работника на работу, противопоказанную ему по состоянию здоровья.

Поскольку Вам предлагают выполнять работу, не предусмотренную трудовым договором и должностной инструкцией, это является переводом, который может быть произведен только с Вашего согласия. Принудить вас подписать такое согласие Вас никто не вправе. Если последует приказ о Вашем переводе без Вашего согласия, Вы вправе обжаловать его в комиссии по трудовым спорам, либо в судебном порядке.