Могу ли я рассчитывать на компенсацию за период безработицы после сокращения?

Лучше это сделать заказным письмом с уведомлением и описью вложения. В заявлении указать данные расчётного счета и номер карты, куда необходимо перевести деньги. Даже если бывший работодатель знает эти данные, всё равно укажите, чтобы они не смогли сказать, что данные для оплаты Вы не указали.

Да, всё правильно. Такая справка нужна только для получения пособия за третий месяц. В Вашем случае будет достаточно копии трудовой книжки. Такая позиция отражена в статье 178 ТК РФ:

В исключительных случаях средний месячный заработок сохраняется за уволенным работником в течение третьего месяца со дня увольнения по решению органа службы занятости населения при условии, если в двухнедельный срок после увольнения работник обратился в этот орган и не был им трудоустроен.

Работодатель не может требовать от Вас справки со службы занятости, т.к. Вы там не стоите на учёте. Служба занятости просто не даст такой справки.

Конечно, Вы имеете право обратиться и в прокуратуру и в трудовую инспекцию. Помимо пособия, работодатель будет обязан еще и выплатить компенсацию за его задержку в соответствии со ст. 236 ТК РФ:

При нарушении работодателем установленного срока соответственно выплаты заработной платы, оплаты отпуска, выплат при увольнении и (или) других выплат, причитающихся работнику, работодатель обязан выплатить их с уплатой процентов (денежной компенсации) в размере не ниже одной сто пятидесятой действующей в это время ключевой ставки Центрального банка Российской Федерации от не выплаченных в срок сумм за каждый день задержки начиная со следующего дня после установленного срока выплаты по день фактического расчета включительно. При неполной выплате в установленный срок заработной платы и (или) других выплат, причитающихся работнику, размер процентов (денежной компенсации) исчисляется из фактически не выплаченных в срок сумм.

В суде же, помимо пособия и компенсации за его задержку, Вы имеете право потребовать компенсацию морального вреда. Однако в суд есть установленные сроки обращения. И в случае отказа бывшего работодателя выплатить пособие, не тяните с обращением в суд. Срок в Вашем случае - 1 год (ст. 392 ТК РФ).

Но обращаю Ваше внимание, что Вы сначала должны направить работодателю заявление заказным письмом с уведомлением и описью вложения. Документы, которые останутся у Вас на руках (чек об отправке, опись, а затем придёт уведомление чуть позже) будут подтверждением того, что Вы действительно обращались к работодателю за выплатой.

Данные дела в судах выигрывают, если имеются доказательства, подтверждающие факт обращения работника за выходным пособием. И если заявление содержит все необходимые данные. Я выше про это писала - реквизиты на оплату.