Суд признал нарушение моих личных прав соседом и обязал компенсировать моральный вред

Да,моральный вред предусмотрен, но вы его должны доказать. Если например при норме Закона о Защите прав потребителя, он указан в законе. То в данном случае это отдельная норма

ГК РФ Статья 151. Компенсация морального вреда

Если гражданину причинен моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.

(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 142-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

При определении размеров компенсации морального вреда суд принимает во внимание степень вины нарушителя и иные заслуживающие внимания обстоятельства. Суд должен также учитывать степень физических и нравственных страданий, связанных с индивидуальными особенностями гражданина, которому причинен вред.

Однако обязательство по компенсации морального вреда, возникает не во всех случаях, а только при одновременном наличии следующих признаков:

1.Страданий, то есть морального вреда как последствия нарушения личных неимущественных прав или посягательства на иные нематериальные блага.

2. Неправомерного действия/бездействия причинителя вреда.

3.Причинной связи между неправомерным действием и моральным вредом.

4. Вины причинителя вреда (ст. 151 ГК РФ).

А если просто-его нужно доказать, что он возник и причинен и глубину страданий.