Можно ли моему отцу жить у меня в квартире без регистрации?

В соответствии с ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВОМ РФ гражданин должен быть зарегистрирован по месту проживания или пребывания. НО в данном случае, так как он Ваш отец, то может проживать без регистрации. Есть примечания к статье 19.15.1 КоАП РФ, смотрите примечания к ст КоАП РФ:

Статья 19.15.1. Проживание гражданина Российской Федерации по месту пребывания или по месту жительства в жилом помещении без регистрации

(введена Федеральным законом от 21.12.2013 N 376-ФЗ)

1. Проживание гражданина Российской Федерации по месту пребывания или по месту жительства в жилом помещении без регистрации либо допущение такого проживания нанимателем или собственником этого жилого помещения свыше установленных законом сроков -

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от двух тысяч до трех тысяч рублей; на нанимателей, собственников жилого помещения (физических лиц) - от двух тысяч до пяти тысяч рублей; на юридических лиц - от двухсот пятидесяти тысяч до семисот пятидесяти тысяч рублей.

2. Нарушение, предусмотренное частью 1 настоящей статьи, совершенное в городе федерального значения Москве или Санкт-Петербурге, -

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от трех тысяч до пяти тысяч рублей; на нанимателей, собственников жилого помещения (физических лиц) - от пяти тысяч до семи тысяч рублей; на юридических лиц - от трехсот тысяч до восьмисот тысяч рублей.

Примечание. Граждане Российской Федерации освобождаются от административной ответственности за административное правонарушение, предусмотренное настоящей статьей, в случае:

проживания без регистрации по месту пребывания в жилом помещении, находящемся в соответствующем населенном пункте субъекта Российской Федерации, если они зарегистрированы по месту жительства в другом жилом помещении, находящемся в том же или ином населенном пункте того же субъекта Российской Федерации;

проживания без регистрации по месту пребывания в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Москве или в одном из населенных пунктов Московской области, если они зарегистрированы по месту жительства в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Москве или в одном из населенных пунктов Московской области;

проживания без регистрации по месту пребывания в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Санкт-Петербурге или в одном из населенных пунктов Ленинградской области, если они зарегистрированы по месту жительства в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Санкт-Петербурге или в одном из населенных пунктов Ленинградской области;

проживания без регистрации по месту пребывания в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Севастополе или в одном из населенных пунктов Республики Крым, если они зарегистрированы по месту жительства в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Севастополе или в одном из населенных пунктов Республики Крым;

(абзац введен Федеральным законом от 03.04.2017 N 65-ФЗ)

если они являются супругами, детьми (в том числе усыновленными), подопечными, супругами детей, родителями, усыновителями, опекунами, попечителями, супругами родителей, родными братьями и сестрами, бабушками, дедушками или внуками нанимателя (собственника) жилого помещения, имеющего регистрацию по месту жительства в данном жилом помещении;

(в ред. Федерального закона от 17.02.2021 N 12-ФЗ)

если проживающие совместно с нанимателем или собственником жилого помещения лица являются по отношению к нему супругами, детьми (в том числе усыновленными), подопечными, супругами детей, родителями, усыновителями, опекунами, попечителями, супругами родителей, родными братьями и сестрами, бабушками, дедушками или внуками.

(в ред. Федерального закона от 17.02.2021 N 12-ФЗ)

Также стоит помнить о РИСКЕ не получения заказных писем по месту регистрации отца. Это будет являться НАДЛЕЖАЩИМ УВЕДОМЛЕНИЕМ. То есть, если ему придет заказное письмо, например из суда, то он будет считаться уведомленным, независимо от получения такого письма!