Могут ли дешить премии, если в докладной нет подписи работника.

Татьяна, это не является основанием для лишения премии.

Но важно понимать, что выплата премии (а это форма поощрения) это не обязанность, а право работодателя.

И работодатель имеет право не выплатить премию вообще без пояснения причин.

Закон четко говорит о праве, а не обязанности платить премию:

ТК РФ Статья 191. Поощрения за труд

Работодатель поощряет работников, добросовестно исполняющих трудовые обязанности (объявляет благодарность, выдает премию, награждает ценным подарком, почетной грамотой, представляет к званию лучшего по профессии).