Меня уволили по статье за прогулы, но хочу исправить на увольнение по собственному желанию - история одной ошибки

Ну может и исправить. Только скажите, что иначе подадите жалобы в ГИТ и прокуратуру.

С уважением.

Теоретически может. Надо переговоры провести.

Прежде всего можно обратиться к работодателю и предъявить официальную претензию по следующему алгоритму: лично принести ее в общий отдел в двух экземплярах; один экземпляр передать для исполнения, на втором получить отметку уполномоченного лица о том, что документ принят; проверить, чтобы он был внесен в реестр входящей документации, при наличии такового. Это станет одним из оснований для подачи иска в суд даже тогда, когда работодатель проигнорировал претензии

Непосредственно в судах рассматриваются индивидуальные трудовые споры по заявлениям: работника об изменении даты и формулировки причины увольнения.

Работник имеет право обратиться в суд за разрешением индивидуального трудового спора по спорам об увольнении в течение одного месяца со дня вручения ему копии приказа об увольнении либо со дня выдачи трудовой книжки или со дня предоставления работнику в связи с его увольнением сведений о трудовой деятельности.

При пропуске по уважительным причинам сроков, и, они могут быть восстановлены судом.

В качестве уважительных причин пропуска срока обращения в суд могут расцениваться обстоятельства, препятствовавшие данному работнику своевременно обратиться с иском в суд за разрешением индивидуального трудового спора (например, болезнь истца, нахождение его в командировке, невозможность обращения в суд вследствие непреодолимой силы, необходимость осуществления ухода за тяжелобольными членами семьи).