Почему инспектор ГИБДД заставил писать объяснительную за перевозку ребенка без кресла?

Почему. Если Павел совершил административное правонарушение, то в отношении него ведется производство по делу об административном правонарушении.

КоАП РФ Статья 28.1. Возбуждение дела об административном правонарушении.

1) непосредственное обнаружение должностными лицами, уполномоченными составлять протоколы об административных правонарушениях, достаточных данных, указывающих на наличие события административного правонарушения.

Дело об административном правонарушении считается возбужденным с момента составления первого акта по данному делу (протокол, постановление об отстранении, определение и т.д.).

часть 4. статьи 28.1 КоАП РФ. Дело об административном правонарушении считается возбужденным с момента:

7) вынесения определения об истребовании сведений в соответствии с частью 5 статьи 26.10 настоящего Кодекса в случаях, предусмотренных частью 3 статьи 28.6 настоящего

Далее смотрим статью 26.3 КоАП РФ.

КоАП РФ Статья 26.3. Объяснения лица, в отношении которого ведется производство по делу об административном правонарушении, показания потерпевшего и свидетелей

2. Объяснения лица, в отношении которого ведется производство по делу об административном правонарушении, показания потерпевшего и свидетелей отражаются в протоколе об административном правонарушении, протоколе о применении меры обеспечения производства по делу об административном правонарушении, протоколе рассмотрения дела об административном правонарушении, а в случае необходимости записываются и приобщаются к делу.

Ну и почему же инспектор не вправе брать объяснение с человека, совершившего административное правонарушение?

Павел сотрудник полиции при необходимости вправе брать объяснение, хоть по административному делу, хоть при проверке заявления о преступлении, хоть при проверки любого поступившего им заявления. В Вашем случае он приложил Ваше объяснение к материалам дела об административном правонарушении в соответствии с КоАП РФ.