Вот такой лжи вправе суд поверить?

Да, у истца есть право просить суд допросить свидетелей.

Просить можете, но вам откажут в вашей просьбе. Нет оснований не доверять налоговой. Значит, возможно он принимает наличкой или на другую карту.

Истец вправе ходатайствовать перед судом о запросе сведений из банков (если известны реквизиты), истребовании доказательств скрытых доходов (чеки, переписки, показания свидетелей), а также требовать вызова в суд лиц, которые могут подтвердить факт работы ответчика, при этом суд не вправе отказать в удовлетворении таких ходатайств, если они обоснованы и направлены на установление истины по делу.

Вы можете суду заявить ходатайство о допросе свидетелей. Но имейте в виду в этом ходатайстве нужно будет указать ФИО, адрес и какую информацию хотите, чтоб подтвердил или опроверг свидетель. Кроме того можете запросить сведения о поступлении денежных средств на банковские счета ответчика.

Суд не имеет прав назначать проверки.

Вызывать свидетелей есть право, просить направить им повестки.

Если нет отчислений в ИФНС и СФР, то о каких доходах вы пишите. Если даже найдёте неофициального работодателя, то он вправе не приходить в суд, а если и придёт, то скажет, что не знает такого человека, первый раз видит.

у истца есть право просить суд

у истца есть право просить суд допросить свидетелей.