Может ли суд прекратить дело, если долг оплачен, а подсудность нарушена?

Нет, дело не будет прекращено.

Нарушение правил территориальной подсудности является основанием для отмены решения суда первой инстанции апелляционным судом и направления дела на новое рассмотрение в суд, к подсудности которого оно отнесено (ч. 2 ст. 330 ГПК РФ).

Оплата задолженности до вынесения решения не является основанием для прекращения производства по делу по ст. 220 ГПК РФ. Это является основанием для отказа в удовлетворении исковых требований по существу (или их частичного удовлетворения, как в Вашем случае). При новом рассмотрении суд по подсудности просто откажет истцу в удовлетворении требований о взыскании задолженности, поскольку она уже оплачена.

По госпошлине:

Поскольку решение мирового судьи будет отменено, отменится и его часть о взыскании госпошлины. Вопрос о распределении судебных расходов, включая госпошлину, будет решаться заново судом, который будет рассматривать дело по подсудности (ст. 98 ГПК РФ).

Если истец имел право на подачу иска на момент его подачи (то есть задолженность существовала), но она была оплачена до вынесения решения, суд, как правило, все равно взыскивает госпошлину с ответчика в пользу истца, так как исковые требования были обоснованы на момент обращения в суд.