Какая должна быть продолжительность трудового договора в бюджетной сфере и можно ли отказаться от его заключения?

Имеет ли право работодатель заставить перейти меня с бессрочного трудового договора на срочный, который собираются заключать со мной каждый год, сроком на год? Я работник бюджетной сферы, когда я устраивалась на работу ещё не заключались договора, но я узнавала, что теперь считается, что со мной автоматически был заключён бессрочный трудовой договор. Теперь нас предупреждают о том, что начиная со следующего года с нами будут заключены контракты сроком на год, и по идеи каждый год будут продляться. Но я понимаю, что никому, кроме работодателя, это невыгодно. Ведь контракт могут просто не продлить. Могу ли я отказаться подписывать данный контракт и могут ли меня за это уволить? Так как договор со мной не был заключён, когда я устраивалась на работу, нам на подпись два года назад подали какие-то бумажки, якобы с нами необходимо заключить трудовой договор, я по-глупости своей подписала, всё это было на ходу, сказали что мы можем ознакомиться с бумажками позже. А теперь нам заявляют, что в следующем году сроки действия каких-то договоров с нами заканчиваются. До сих пор я считала, что подписала стандартный бессрочный договор, но теперь я сомневаюсь. Мог ли быть это срочный трудовой договор? И заключаются ли они сроком большим, чем на пять лет?