Как нам лучше её уволить, возможно, ли что без оформления её вообще?

Здравствуйте, Екатерина. Вы можете уволить работника за отсутствия его на рабочем месте без уважительной причины (ст.81 п.6а ТК РФ).

Статья 81. Расторжение трудового договора по инициативе работодателя

Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:

1) ликвидации организации либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем;

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

2) сокращения численности или штата работников организации, индивидуального предпринимателя;

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

3) несоответствия работника занимаемой должности или выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации, подтвержденной результатами аттестации;

(п. 3 в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

4) смены собственника имущества организации (в отношении руководителя организации, его заместителей и главного бухгалтера);

5) неоднократного неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание;

6) однократного грубого нарушения работником трудовых обязанностей:

а) прогула, то есть отсутствия на рабочем месте без уважительных причин в течение всего рабочего дня (смены), независимо от его (ее) продолжительности, а также в случае отсутствия на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня (смены);

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ).

Если бы заявление подписанное ею было направлено Вам по почте с уведомлением, то Вы бы ее не имели бы права не уволить по собственному желанию. А электронный адрес - юридическую силу не имеет. И что Вы подразумеваете под "без оформления ее вообще"?