Или же нужно было расторгнуть старый договор и заключить новый на тот же срок?

Александр,

трудовое законодательство не содержит понятия "продление договора", но в то же время любое его условие может быть изменено по соглашению сторон (ст. 72 ТК РФ).

Если до окончания срока действия заключенного договора внести изменения в его условия (т.е. изменить срок с меньшего на больший), то в таком случае работник будет продолжать работу не "после истечения срока", а в пределах его действия.

А вообще внимательно ознакомьтесь с договором: срочный ли он у Вас.

Для заключения срочного трудового договора требуются основания, закрепленные в ТК РФ.

И в трудовом договоре должно быть указано обстоятельство, на основании которого договор имеет определенный срок действия (ч. 2 ст. 57 ТК РФ), в формулировке, соответствующей тому или иному случаю, перечень которых приведен в ст. 59 ТК РФ.

Перечни случаев, когда может быть заключен срочный трудовой договор, являются закрытыми.

Соответственно, работодатель не вправе устанавливать, например, в своих локальных нормативных актах или в трудовом договоре с работником иные основания для заключения срочных трудовых договоров.

Также ст. 58 ТК РФ запрещено заключение срочных трудовых договоров в целях уклонения от предоставления прав и гарантий, предусмотренных для работников, с которыми заключается трудовой договор на неопределенный срок. Трудовой договор, заключенный на определенный срок при отсутствии достаточных к тому оснований, установленных судом, считается заключенным на неопределенный срок.

При этом следует отметить, что согласно ст. 58 ТК РФ признать срочный трудовой договор договором, заключенным на неопределенный срок, вправе только суд.