Кто будет нести ответственность за долг по квартире - основной квартиросъемщик или его сестра?

Долг останется на всех жильцах, даже когда они станут бывшими (каждый отвечает по долгам за период своего проживания), которые отвечают солидарно. Его могут взыскать в судебном порядке, но если пропустят срок исковой давности по ст. 196 ГК РФ (3 года) и должник заявит в суде о таком пропуске, то в иске откажут и платить не придется

в вашем случае, если долги накопились в период регистрации и проживания членов семьи - то все будут нести солидарный порядок по их оплате ст. 69 ЖК

ЗА квартиросъемщиком долг останется, соответственно если его не погасит то на него подадут в суд.

Статья 155. Внесение платы за жилое помещение и коммунальные услуги

[Жилищный кодекс РФ] [Статья 155]

"На ком будет, висеть долг, если моя супруга выпишется раньше, чем ее сестра? "

Тогда на оставшемся нанимателе будет висеть долг.

"Либо подать заявление в суд на сестру супруги, после того как она выпишется?"

Только после уплаты долга можно что-то требовать от сестры Вашей супруги.

Поскольку ст. 325 ГК РФ указывает:

"Если иное не вытекает из отношений между солидарными должниками:

1) должник, исполнивший солидарную обязанность, имеет право регрессного требования к остальным должникам в равных долях за вычетом доли, падающей на него самого".

"Как в данной ситуации поступить наилучшим образом?"

Платите, а потом взыскивайте долю в долге сестры Вашей супруги через суд.