Должен ли работодатель привлекать работника к ответственности за нарушение ПДД без участия ГИБДД или Суда?

Да это самоуправство.

Статья 19.1. КоАП РФ Самоуправство

Самоуправство, то есть самовольное, вопреки установленному федеральным законом или иным нормативным правовым актом порядку осуществление своего действительного или предполагаемого права, не причинившее существенного вреда гражданам или юридическим лицам, за исключением случаев, предусмотренных статьей 14.9.1 настоящего Кодекса, -

(в ред. Федерального закона от 13.07.2015 N 250-ФЗ)

влечет предупреждение или наложение административного штрафа на граждан в размере от ста до трехсот рублей; на должностных лиц - от трехсот до пятисот рублей.

(в ред. Федерального закона от 22.06.2007 N 116-ФЗ)

Функциональная обязанность водителя прописана в должностной инструкции и трудовом договоре, соблюдение правил дорожного движение — это первоочередная обязанность водителя соблюдать ни только правила дорожного движения, но и безопасность на дороге во времени выполнения своих функциональных обязанностей.

Прошу Вас обосновать свой ответ, чем именно (какой нормой права) запрещено считать деяние со всеми признаками нарушения ПДД (без последствий) - нарушением ПДД до вступления в законную силу соответствующего решения суда или постановления гибдд. Есть ли отличие между нарушением ПДД и административной ответственностью за его совершение? Прошу привести конкретный пример с привлечением к ответственности работодателя за самоуправство при подобных обстоятельствах.

Работодатель имеет право самостоятельно квалифицировать нарушение ПДД, без Суда и ГИБДД? Какой нормой права он наделен такими полномочиями?

Должны обеспечивать (ст. 20 N 196-ФЗ) и... не обеспечивают! Например, обязательные для работодателя 20-ти часовые занятия для водителей, они проводят за 2-3 часа (пустых разговоров и анекдотов, вместо реализации учебной программы с привлечением многих специалистов). Никто из водителей не соответствует обязательным требованиям по квалификации! Им не нужны умные водители! Они их боятся как огня, и пытаются избавится любой ценой! И так везде! Работодатели нарушают все и вся (на них печать ставить не куда). Но речь не о них. Вы не путайте трудовую функцию работника с общей обязанностью - соблюдать ПДД. Это совершенно разные сферы. Трудовая функция по ТД - управление транспортным средством при перевозке людей и пассажиров. А соблюдение ПДД это обязанность работника перед государством и ответственность перед государством по КоАП или УК РФ. За нарушение ПДД перед работодателем работник (водитель) несет только материальную ответственность (если ему причинен ущерб) или, что не законно, в случае привлечения работника к административной ответственности за нарушение ПДД во время работы на служебном транспорте. Однако, если административной ответственности не было (решения Суда или Постановления ГИБДД) то не было и нарушения ПДД. Работодатель превышает свои полномочия или занимается самоуправством, что может повлечь за собой уголовную ответственность в случае существенного нарушения права работника (конституционного права на труд).