Кто должен ремонтировать аварийный козырек и балкон в многоквартирном доме?

Нет, это вранье.

В вашем случае следует обратиться с жалобой (ст. 2 Федерального закона от 02.05.2006 N 59-ФЗ "О порядке рассмотрения обращений граждан") в надзорный орган - ГЖИ. В жалобе подробно указать все обстоятельства известные вам по данному вопросу, а также ссылки на нормы права, которые обосновывают вашу правовую позицию. В случае, если ответ вас не удовлетворит, он не будет законным и обоснованным, проблема не будет решена, следует обратиться в Прокуратуру (ст. 10 Федеральный закон от 17.01.1992 N 2202-1 (ред. от 24.07.2023) "О прокуратуре Российской Федерации"). Если вопрос опять не будет решен - в суд, в порядке ст 131, 132 ГПК.

Позиция управляющей компании о том, что ремонт балкона и козырька не входит в их обязанности, является правомерной.

Нет, отвечает УК .Вам следует направить жалобу на ее действия в ГЖИ и они обяжут ук провести ремонт.Так же можно жалобу в прокуратуру подать, так как в данном случае есть нарушения прав граждан ,а прокуратура как надзорный орган обязан следить и восстанавливать права.

Это общедомовое имущество,пишите жалобу в прокуратуру и в жил инспекцию,мне также говорили,пока их не оштрафовали несколько раз и не обязали сделать.

В состав общедомового имущества включены несущая стена и балконная плита, по сути – пол балкона. Она признаётся ограждающей конструкцией многоквартирного дома и находится в ведении управляющей домом организации, отвечающей за содержание и ремонт общего имущества МКД (пп. «в» п. 2  ПП РФ № 491, ч. 2 ст. 162 ЖК РФ). За остальные части балкона – козырёк, крышу, парапет, а также остекление – ответственность несёт сам собственник.

Ответственность УК. В ГЖИ, в прокуратуру, в суд. см. Правила предоставления комуслуг Пост Пр-ва 491

Нет, не правомерно. Балконная плита общедомовое имущество. УК обязана ремонтировать. С козырьком - смотря кто его установил. Если сами - сами и ремонтируете, если конструктивный элемент дома - УК.