Проблема с увольнением по соглашению - как решить ситуацию и получить компенсацию в банке

В Вашем случае применить дисциплинарное взыскание в виде увольнения можно либо за неоднократное неисполнение трудовых обязанностей (если есть дисциплинарное взыскание), либо за однократное грубое нарушение трудовых обязанностей, указанное в законе (ст.81 Трудового кодекса).

Употребляя слово "можно" я имею ввиду, что можно в-принципе, и не имею ввиду, что в данном случае такое применение соответствует закону.

При этом в тексте вопроса я не усмотрел оснований для применения в отношении Вас увольнения за однократное грубое нарушение трудовых обязанностей. Если в дальнейшем подобное увольнение все же произойдет и Вы будете его обжаловать в судебном порядке, то на обжаловании работодателю придется обосновывать суду наличие неблагоприятных последствий от того или иного деяния, совершенного Вами.

Писать Заявление на увольнение по собственному желанию (инициатива работника) Вы не обязаны. Если Вы не планируете свою дальнейшую трудовую деятельность в данном банке, Вы можете предложить своему руководству произвести Ваше увольнение по соглашению сторон трудового договора (ст.78 Трудового кодекса РФ) с оплатой Вам компенсации в интересующем Вас размере.

Ну угрожать руководитель может сколько угодно. Не поддавайтесь на провокации. Любое увольнение по инициативе работодателя должно быть оформлено соответствующим образом, в противном случае Вас восстановит на работе суд. Для увольнения по соглашению сторон необходимо составленное и подписанное обеими сторонами (Вами и работодателем) соглашение сторон, в котором может быть прописано условие о выплате какой-либо суммы компенсации увольняющемуся работнику.