Как поступить в ситуации, когда начальник отказывается уволить по согласию сторон?

С чего, собственно Вы вообще взяли что при увольнении за прогул теряется компенсация за неотгулянный отпуск? Это не так.

И вообще, согласно ст. 80 ТК РФ

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

Указанный список относительно невозможности продолжения работы не является закрытым, то есть там написано про "другие случаи".

Можете попробовать устроиться на другую работу, уведомить работодателя (старого) заявлением об увольнении в связи с невозможностью продолжать работу и что просите уволить сегодняшним числом, а далее, как говорится, по обстановке.

Возможно он и не захочет связываться с увольнением за прогул, так как это всегда чревато восстановлением через суд и всё-таки (куда деваться) уволит по заявлению.