Как заключить договор задним числом при отсутствии прежнего руководителя?

Согласно нормам трудового законодательства фактическое допущение к работе является доказательством заключения трудового договора.

Скорее всего Вам заключение трудового договора в письменной форме нужно, чтобы при проверке не было никаких претензий со стороны проверяющих органов.

Может быть есть возможность сделать доверенность от имени старого директора на какое-нибудь доверенное лицо с правом подписания трудовых договоров. Правда доверенность тоже должна быть задним числом.