Не может ли это быть поводом, чтобы избавиться от неугодных?

Вероятно, Ваша организация хочет просто выполнить требования Трудового кодекса РФ (ТК), согласно статье 16 которого трудовые отношения возникают между работником и работодателем на основании трудового договора, заключаемого ими в соответствии с ТК. То, что многие работают давно, еще не значит, что договор заключать не обязательно. Что касается поводов к избавлению от неугодных, то они определены статьей 81 ТК. Кроме этого, согласно пункту 7 статьи 77 ТК отказ работника от продолжения работы в связи с изменением существенных условий трудового договора является также основанием для прекращения трудового договора (увольнения). Но для такого изменения существенных условий установлен порядок, согласно которому о введении указанных изменений работник должен быть уведомлен в письменной форме не позднее чем за 2 мес. до их введения, если работник не согласен на продолжение работы в новых условиях, то работодатель обязан в письменной форме предложить ему иную имеющуюся в организации работу, при отсутствии указанной работы, а также в случае отказа работника от предложенной работы трудовой договор прекращается в соответствии с пунктом 7 статьи 77 ТК.

Так что, Ваши опасения, скорее всего, напрасны.

С уважением,