Можно ли через суд требовать возврата кота или компенсацию при его утрате?

Кота жаль будет невозвращения, стоит судиться.

В полиции вам готовят отказной материал. Это не препятствует обращению в суд, более того, вы можете приложить к иску копию отказного материала, где содержатся противоречивые показания ответчика (кот сбежал, умер и т.д.), что усилит вашу позицию.

Обратиться с данным иском можно, однако потребуется доказать, что ответчик взял кота.

можете обратиться в суд с иском о возврате кота или, в случае его гибели, о взыскании морального ущерба

Если сможете доказать, что кот именно Ваш - да, сможете с такими требованями обращшаться в суд.

В суде нужно будет доказать Ваше право собственности на него: ветпаспорт с вашими данными или чипирование, показать чек из магазина, договор купли-продажи. Можно попробовать восстановить данные ветклинике: у них прием в электронном виде ведется, попросите распечатать приемы. Назовете кличку и приблизительно последний прием. Если через карту оплачивали приемы, то выписку из банка можно взять заверенную для суда. Если вы покупали кошку и оплачивали безналом, то можно в банке еще выписку попросить, заверенную, где операция покупки животного была. Если Вы кошке еду покупали еду, делали интернет-заказы через карту, то найдите эти операции и также через банк запросите с печатью, плюс переписку с бывшим сохраните, где вы требуете кошку, что вы ее приобретали, а он Вам на это отказом ответил, заверьте переписку где требуете вернуть вашу собственность. Зоозащитникам напишите и привлеките общественность.

Скорее всего мирным путем он не отдаст. Как вариант придумайте методы кота забрать когда он спит или принимает душ.)) Под предлогом того, что Вы пришли помириться или ваша подруга пришла к нему в гости. Поговорите с его соседями. Если в хороших отношениях остались с его матерью (друзьями) - попросите её помочь, у нее могут быть ключи от его квартиры и когда уйдет на работу - пусть посмотрит находится ли кот в квартире и дальше по обстоятельствам.

Вы жили в чужой квартире, с чужим мужчиной и всё имущество, в этой квартире, принадлежит этому мужчине. В том числе и кот. Если сможете доказать, что кот именно Ваш - куплен лично вами или был вашим до переезда к этому мужчине, то да, сможете с такими требованиями обращаться в суд.