Кто должен оплатить коммунальные услуги за период судебных тяжб?

Вы будете платить, т.к. квартира была Вашей. Родственники умершего могут Вам заплатить лишь судебные издержки.

Здравствуйте Ксения, в соответствии с действующим законодательством Собственник несет бремя содержания принадлежащего ему имущества, если иное не предусмотрено законом или договором.

А вот право собственности на квартиру возникло у Вас с момента государственной регистрации, если иное не установлено законом.

Оплачивайте и взыскивайте с родственников продавца данные платежи как убытки, поскольку вы не могли пользоваться жилой площадью на основании ст. 15 ГК РФ

Статья 15. Возмещение убытков

1. Лицо, право которого нарушено, может требовать полного возмещения причиненных ему убытков, если законом или договором не предусмотрено возмещение убытков в меньшем размере.

2. Под убытками понимаются расходы, которые лицо, чье право нарушено, произвело или должно будет произвести для восстановления нарушенного права, утрата или повреждение его имущества (реальный ущерб), а также неполученные доходы, которые это лицо получило бы при обычных условиях гражданского оборота, если бы его право не было нарушено (упущенная выгода).

Если лицо, нарушившее право, получило вследствие этого доходы, лицо, право которого нарушено, вправе требовать возмещения наряду с другими убытками упущенной выгоды в размере не меньшем, чем такие доходы.