Договор, и как это сделать (через увольнение или заявлением работника о продлении договора)?

Необходимо знать что послужило причиной для установления срочности трудового договора, т.к. перечень оснований для заключения такового ограничен ст. 59 ТК РФ.

Если Вам нужен только срочный трудовой договор, то лучше расторнуть уже существующий по причине истечения срока его действия и через несколько дней заключить новый. Хотя никто вам не запрещает просто ничего не предпрринимать, в таком случае условие о срочности договора теряет свою силу и договор считается заключенным на неопределенный срок, ст. 58 ТК РФ -

Трудовые договоры могут заключаться:

1) на неопределенный срок;

2) на определенный срок не более пяти лет (срочный трудовой договор), если иной срок не установлен настоящим Кодексом и иными федеральными законами.

Срочный трудовой договор заключается, когда трудовые отношения не могут быть установлены на неопределенный срок с учетом характера предстоящей работы или условий ее выполнения, а именно в случаях, предусмотренных частью первой статьи 59 настоящего Кодекса. В случаях, предусмотренных частью второй статьи 59 настоящего Кодекса, срочный трудовой договор может заключаться по соглашению сторон трудового договора без учета характера предстоящей работы и условий ее выполнения.

Если в трудовом договоре не оговорен срок его действия, то договор считается заключенным на неопределенный срок.

В случае, когда ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия и работник продолжает работу после истечения срока действия трудового договора, условие о срочном характере трудового договора утрачивает силу и трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок.

Трудовой договор, заключенный на определенный срок при отсутствии достаточных к тому оснований, установленных судом, считается заключенным на неопределенный срок.

Запрещается заключение срочных трудовых договоров в целях уклонения от предоставления прав и гарантий, предусмотренных для работников, с которыми заключается трудовой договор на неопределенный срок.

просто суды очень настороженно относятся к часто перезаключаемым срочным трудовым договорам и расценивают это как уклонение от предоставления гарантиий работникам без достаточных к тому оснований и могут признать такие договоры бессрочными.